Triangle of Pascal

Pascalの三角形

• 各階層が$2^n$となっている。

• $n$層目の左から$k$番目の数が$_n C_k$となり、Pascalの三角形に$_n C_k$が出現する

なぜこんなことが起こっているのか？

各数は2つの下層の数に足される。下層の合計には自身の2倍を足していることになる。

$_n C_k$ がPascalの三角形に出現する理由

$_n C_k = _{n - 1}C_{k - 1} + _{n - 1}C_{k}$

だから。

円の領域分割問題との関係

$F$は領域の数。

$F = 1 + _n C_2 + _n C_4$

$n<5$の時, $F=2^{n-1}$となる。

なぜ5以上だと崩壊するのか？それは上の式を見ると、0番目、2番目、4番目を足していることによる。

実際にPascalの三角形を見てみると、この0,2,4番目を足せば上の層を全て足したことになるのが5層目までになる。

単純に5層目以上だとこの式では全部足せなくなってしまうから崩壊する。

しかし10層目では256になる。これは９層目の合計の半分にたまたま$F$が一致するからである。

感想

3Blue1Brownの動画で知って面白かったのでメモした。

組み合わせの説明はかつてないほどわかりやすかった。

わかりにくい公式だと思うので小学校か中学校の教師はこれで教えればいいんじゃないだろうか。